行列式的微分公式如下：

微分形式

对于一个 $n$ 阶矩阵 $Y$，根据拉普拉斯定理，我们有：

$$

|Y| I = QY

$$

其中矩阵 $Q$ 表示矩阵 $Y$ 的伴随矩阵。将公式展开后，我们可以得到：

$$

\begin{bmatrix} |Y| & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & |Y| & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & |Y| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum\limits_{p=1}^n q_{1p} y_{p1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \sum\limits_{p=1}^n q_{2p} y_{p2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & \sum\limits_{p=1}^n q_{np} y_{pn} \end{bmatrix}

$$

其中 $q_{ji}$ 是伴随矩阵 $Q$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 列的元素。根据伴随矩阵的定义，我们有：

$$

q_{ji} = （Q^T）_{ij}

$$

并且：

$$

\dfrac{\partial （q_{ji} y_{ij}）}{\partial y_{ij}} = y_{ij}

$$

偏导数形式

行列式关于矩阵元素 $X_{ij}$ 的偏导数为：

$$

\frac{\partial \det（X）}{\partial X_{ij}} = X^*_{ji}

$$

其中 $X^*$ 为伴随矩阵（adjugate matrix），并且 $X^*_{ji}$ 被定义为关于元素 $X_{ij}$ 的代数余子式（algebraic cofactor）：

$$

X^*_{ji} = A_{ij} = （-1）^{i+j} \det（\widehat X_{ij}）

$$

其中 $\widehat X_{ij}$ 为矩阵 $X$ 删掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后的剩余矩阵，$\det（\widehat X_{ij}）$ 为关于元素 $X_{ij}$ 的余子式（cofactor）。

这些公式可以帮助我们在微积分学中处理行列式的微分问题，特别是在换元积分法中。