乘法的公式及其推导如下：

乘法交换律

公式：$a \times b = b \times a$

推导：乘法交换律表明两个数相乘，交换因数的位置，积不变。这是乘法的基本性质之一，可以通过数数或简单的代数运算来验证。

乘法结合律

公式：$（a \times b） \times c = a \times （b \times c）$

推导：乘法结合律表明三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这也可以通过数数或代数运算来验证。

乘法分配律

公式：$（a + b） \times c = a \times c + b \times c$

推导：乘法分配律表明两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这可以通过展开括号并重新组合项来验证。

平方差公式

公式：$（a + b）（a - b） = a^2 - b^2$

推导：平方差公式可以通过将左边的表达式展开并重新组合项来验证，即：

$$

（a + b）（a - b） = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

$$

完全平方公式

公式：

$（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$（a - b）^2 = a^2 - 2ab + b^2$

推导：完全平方公式可以通过将左边的表达式展开并重新组合项来验证，即：

$$

（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2

$$

$$

（a - b）^2 = a^2 - 2ab + b^2

$$

立方和公式

公式：$（a + b）（a^2 - ab + b^2） = a^3 + b^3$

推导：立方和公式可以通过将左边的表达式展开并重新组合项来验证，即：

$$

（a + b）（a^2 - ab + b^2） = a^3 + a^2b - a^2b + ab^2 + b^3 = a^3 + b^3

$$

立方差公式

公式：$（a - b）（a^2 + ab + b^2） = a^3 - b^3$

推导：立方差公式可以通过将左边的表达式展开并重新组合项来验证，即：

$$

（a - b）（a^2 + ab + b^2） = a^3 + a^2b - a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 - b^3

$$

这些公式及其推导展示了乘法的基本性质和运算规则，是初中阶段必须掌握的基础内容。通过理解这些公式的推导过程，可以更好地掌握它们的运用。