夹逼准则（也称为夹逼定理、夹挤定理、迫敛定理或三明治定理）是数学分析中用于判定极限存在的一个重要方法。其基本思想是通过两个已知的极限值相同的数列（或函数）来“夹住”待研究的数列（或函数），从而推断出待研究的数列（或函数）的极限值。

具体来说，夹逼准则的表述如下：

数列形式 ：设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都收敛于极限 $L$，且存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$。那么数列 $\{b_n\}$ 也收敛于 $L$。

函数形式：

设函数 $f（x）$ 和 $g（x）$ 在某点 $x_0$ 的某邻域内连续，且 $\lim_{x \to x_0} f（x） = \lim_{x \to x_0} g（x） = A$。若在该邻域内恒有 $f（x） \leq f（x_0） \leq g（x）$，则 $\lim_{x \to x_0} f（x） = \lim_{x \to x_0} g（x） = A$。

应用示例

数列极限

设数列 $\{a_n\} = 1 - \frac{1}{n}$ 和 $\{b_n\} = 1 - \frac{1}{n+1}$，显然 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都收敛于 1。

对于任意 $n > N$，有 $a_n = 1 - \frac{1}{n} \leq 1 - \frac{1}{n+1} = b_n \leq 1$。

因此，数列 $\{b_n\}$ 也收敛于 1。

函数极限

设 $f（x） = x^2 \sin\left（\frac{1}{x}\right）$ 和 $g（x） = x$ 在 $x = 0$ 的某邻域内。

显然 $f（x） \leq g（x） \leq |x|$，且 $\lim_{x \to 0} f（x） = \lim_{x \to 0} g（x） = 0$。

因此，$\lim_{x \to 0} f（x） = 0$。

总结

夹逼准则通过“夹”与“逼”的巧妙结合，既体现了数学证明的严谨性，又展示了直觉与推理的巧妙运用。它在数列极限和函数极限的计算中非常有用，特别是在无法直接用极限运算法则求极限的情况下，通过夹逼准则可以间接确定极限值。