三角形面积公式为：

\[ S = \frac{1}{2} |a||b| \sin C \]

其中：

\（ a \） 和 \（ b \） 是三角形的相邻两条边，

\（ C \） 是这两条边的夹角。

这个公式的证明基于以下步骤：

1. 作三角形 \（ a \） 上的高 \（ h \），

2. 由于 \（ h \） 是高，所以 \（ h/b = \sin C \），从而 \（ h = b \sin C \），

3. 三角形的面积 \（ S \） 也可以表示为 \（ S = \frac{1}{2} a \cdot h \），

4. 将 \（ h = b \sin C \） 代入 \（ S = \frac{1}{2} a \cdot h \） 得到 \（ S = \frac{1}{2} a \cdot b \sin C \）。

因此，三角形面积公式为：

\[ S = \frac{1}{2} |a||b| \sin C \]

这个公式在数学和建筑学中有广泛的应用。