填空题

若 $（x, a, x, f（x）） \in \mathbb{R}^4$ 且 $f（x）$ 在 $\mathbb{R}^4$ 上连续，则 $a = -1$。

函数 $f（x, y） = x^2 + y^2 \sin \frac{1}{x^2 + y^2}$ 在区间 $[-\pi, \pi] \times [-\pi, \pi]$ 上的最大值为 $3\pi^2$。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。

由曲线 $z = x^2 + y^2$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到的旋转面在点 $（0, 0, 0）$ 处的指向外侧的单位法向量为 $（0, 0, 1）$。

设函数 $z = f（x, y）$ 由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 所确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$。

选择题

设函数 $f（x）$ 可导，并且 $f'（x） = 0$，则当 $x \to 0$ 时，该函数在点 $x = 0$ 处的微分 $dy$ 是 $y$ 的（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。

设函数 $f（x）$ 在点 $x = a$ 处可导，则 $f（x）$ 在点 $x = a$ 处不可导的充要条件是（C）$f（a） = 0$ 且 $f'（a） \neq 0$。

曲线 $y = x^2$（A）没有渐近线；（B）有水平渐近线 $y = 0$；（C）有垂直渐近线 $x = 0$；（D）有斜渐近线 $y = 2x$。

计算题

求 $\int_{0}^{1} x^9 dx$。

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

求 $p$ 的值，使 $ab + a = 0$。

设 $f（x）$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f（0） = 0, f（1） = 1$，若对任意的 $x \in [0, 1]$，都有 $f（x） \leq x$，证明函数 $f（x）$ 在区间 $[0, 1]$ 上存在唯一的根。

解答题

设 $f（x）$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f（0） = 0, f（1） = 1$，若对任意的 $x \in [0, 1]$，都有 $f（x） \leq x$，证明函数 $f（x）$ 在区间 $[0, 1]$ 上存在唯一的根。

这些试题涵盖了高等数学竞赛中常见的题型，包括填空题、选择题、计算题和解答题。建议自己在草稿纸上动手做完以后再查阅下面给出的参考答案，以便更好地理解和掌握相关知识。