余弦定理是描述三角形边长与夹角关系的定理，其表达式为：

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

向量法

设三角形的三条边分别为 $a$、$b$、$c$，对应的角分别为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。

根据平行四边形定则，有 $a + b = c$。

由此可得：

$$c^2 = （a + b）^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos C$$

移项化简得：

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

这完成了余弦定理的证明。

三角函数法

假设三角形的三个边长为 $a$、$b$、$c$，角 $A$ 对应的边为 $a$。

可以得到 $\cos（A） = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。

通过同样的方法可以得到其它两个角对应的余弦公式。

勾股定理法

以直角三角形为基础，通过勾股定理和三角函数的关系来推导余弦定理。

可以构造一个与原三角形有相同边长的直角三角形，并应用勾股定理和三角函数的定义来得到余弦定理的表达式。

三角形面积法

通过将三角形分割成若干个小三角形，利用三角形的面积公式来证明余弦定理。

可以运用海伦公式或高度、底边的关系，计算三角形的面积并得到余弦定理的表达式。

频率法

假设在坐标平面上有一个单位圆，利用角度的频率性质来证明余弦定理。

可以通过将三角形顶点与单位圆上的点相连接，利用三角函数的定义和性质来推导余弦定理的表达式。

解析几何法

将三角形的顶点坐标表示为 $（x_1, y_1）$、$（x_2, y_2）$、$（x_3, y_3）$，利用距离公式和向量的点乘来推导余弦定理。

通过计算各边的长度和向量之间的关系，得到余弦定理的表达式。

这些方法都可以用来证明余弦定理，选择哪种方法可以根据具体情况和个人习惯来决定。向量法和三角函数法是较为直观和常用的证明方法。