正余弦公式是数学中描述角度与三角形边长关系的核心公式，主要分为基本定义、和差公式、倍角公式、半角公式及正弦定理和余弦定理等类别。以下是主要公式的整理：

一、基本定义公式

正弦函数

$$\sin\theta = \frac{y}{r}$$

其中，$\theta$为角度，$y$为直角三角形中对边长度，$r$为原点到该点的距离。

余弦函数

$$\cos\theta = \frac{x}{r}$$

其中，$x$为直角三角形中邻边长度，$r$为原点到该点的距离。

二、和差公式

正弦和差公式

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

用于计算两个角度和或差的正弦值。

余弦和差公式

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$

用于计算两个角度和或差的余弦值。

三、倍角公式

正弦倍角公式

$$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

用于计算角度的两倍的正弦值。

余弦倍角公式

$$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$$

用于计算角度的两倍的余弦值。

四、半角公式

正弦半角公式

$$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$$

用于计算角度一半的正弦值。

余弦半角公式

$$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$$

用于计算角度一半的余弦值。

五、和积公式

正弦和积公式

$$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$$

用于计算两个角度乘积的正弦值。

余弦和积公式

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$$

用于计算两个角度乘积的余弦值。

六、正弦定理

在任意三角形中，边长与对应角的正弦值成比例：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

其中$R$为三角形外接圆半径。

七、余弦定理

用于已知三角形两边及夹角求第三边，或已知三边求角：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$。

补充说明

三角函数性质：

如$\sin（-\alpha） = -\sin\alpha$，$\cos（-\alpha） = \cos\alpha$等。

公式应用：和差公式在三角恒等变换中应用广泛，倍角公式常用于简化计算。

以上公式覆盖了高中阶段及技术分析中常用的正余弦函数公式，可根据具体问题选择适用公式进行计算。