正态分布，也称“常态分布”或“高斯分布”，是一种在自然界和人类社会中广泛应用的连续概率分布。正态分布由两个主要参数决定： 期望（μ）和方差（σ²）。

期望（μ）

期望是数据集中趋势的度量，表示数据点的平均值。

对于离散随机变量，期望的计算公式为：

$$

\mu = E(\xi) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i

$$

其中，$x_i$ 是随机变量 $X$ 的取值，$p_i$ 是 $x_i$ 出现的概率。

方差（σ²）

方差是数据离散程度的度量，表示数据点与其期望值之间的平均偏离程度。

对于离散随机变量，方差的计算公式为：

$$

\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2

$$

其中，$n$ 是数据点的数量，$x_i$ 是随机变量 $X$ 的取值，$\mu$ 是期望值。

对于连续随机变量，正态分布的概率密度函数（PDF）为：

$$

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

其中，$\mu$ 是期望值，$\sigma^2$ 是方差。

正态分布的性质包括：

期望值 $\mu$ 决定了分布的中心位置。

标准差 $\sigma$ 决定了分布的宽度或幅度。

正态分布曲线呈钟形，对称于其期望值 $\mu$。

样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 分别是总体均值 $\mu$ 和总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计。

在实际应用中，正态分布的期望和方差常用于数据分析、金融风险评估、质量控制等领域，帮助人们理解和预测数据的分布情况。