微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述函数与其导数之间的关系。以下是一些常见的微分方程公式及其解法：

一阶线性微分方程

公式：$y = e^{-\int P（x）dx} \left（ \int e^{\int P（x）dx} Q（x） dx + C \right）$

应用场景：当微分方程可以表示为 $\frac{dy}{dx} + P（x）y = Q（x）$ 的形式时，可以使用此公式求解。

二阶线性齐次微分方程

公式：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

特征方程：通过解特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 得到特征根 $r_1$ 和 $r_2$，然后代入通解公式。

分离变量的微分方程

公式：将方程变形为 $\frac{dy}{g（y）} = f（x）dx$，然后对两边同时积分。

一阶微分方程的其他形式

公式：

若方程可以变形为 $y' = f（y/x）$，设 $y/x = u$，则 $du/（f（u） - u） = dx/x$

若方程可以整理为 $dy/f（y） = dx/g（x）$，用分离系数法，两边积分求解。

二阶微分方程的其他形式

公式：

若实根 $r_1 \neq r_2$，则 $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$

若实根 $r_1 = r_2$，则 $y = （c_1 + c_2 x） e^{r_1 x}$

若有一对共轭复根 $r_1 = \alpha + \beta i$ 和 $r_2 = \alpha - \beta i$，则 $y = e^{\alpha x} [C_1 \cos \beta + C_2 \sin \beta]$。

n阶常微分方程

公式：$F（x, y', y'', \ldots, y^{（n）}） = 0$

解法：解出最高阶导数 $y^{（n）}$，从而得到n阶线性微分方程 $y^{（n）} + a_1（x） y^{（n-1）} + \ldots + a_{n-1}（x） y' + a_n（x） y = g（x）$，然后逐步求解。

这些公式涵盖了微分方程的主要类型和解法，掌握这些公式对于解决实际问题非常有帮助。