扇形的面积公式和周长公式如下：

一、面积公式

基于弧长和半径

$$S = \frac{1}{2} l R$$

其中，$l$ 为扇形弧长，$R$ 为半径。

基于圆心角（角度制）

$$S = \frac{\theta}{360} \pi R^2$$

其中，$\theta$ 为圆心角（角度制），$R$ 为半径。

基于圆心角（弧度制）

$$S = \frac{1}{2} \alpha R^2$$

其中，$\alpha$ 为圆心角（弧度制），$R$ 为半径。

推导说明

由“等半径扇形面积比等于弧长比”推导得出，结合圆的面积公式 $S = \pi R^2$ 和弧长公式 $l = \alpha R$，可推导出上述公式。

二、周长公式

基本公式

$$C = 2R + L$$

其中，$L$ 为弧长，$R$ 为半径。

角度制与弧度制的转换

角度制：$L = \frac{n \pi R}{180}$，则 $C = 2R + \frac{n \pi R}{180}$

弧度制：$L = \alpha R$，则 $C = 2R + \alpha R$ 。

示例计算：

若半径 $R = 5$ 厘米，圆心角 $\theta = 60^\circ$（约 $1.047$ 弧度），

周长 $C = 2 \times 5 + 4 = 14$ 厘米

面积 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$ 平方厘米。

三、补充说明

弧长公式：$l = \frac{n \pi R}{180}$（角度制）或 $l = \alpha R$（弧度制）

公式统一性

角度制公式可转化为弧度制形式，例如 $S = \frac{\theta}{360} \pi R^2 = \frac{1}{2} \theta R^2$（$\theta$ 为弧度）

以上公式适用于已知半径和圆心角的情况，若已知弧长，面积公式更简洁。