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扇形的面积公式和周长公式是什么?

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扇形的面积公式和周长公式如下:

一、面积公式

基于弧长和半径

$$S = \frac{1}{2} l R$$

其中,$l$ 为扇形弧长,$R$ 为半径。

基于圆心角(角度制)

$$S = \frac{\theta}{360} \pi R^2$$

其中,$\theta$ 为圆心角(角度制),$R$ 为半径。

基于圆心角(弧度制)

$$S = \frac{1}{2} \alpha R^2$$

其中,$\alpha$ 为圆心角(弧度制),$R$ 为半径。

推导说明

由“等半径扇形面积比等于弧长比”推导得出,结合圆的面积公式 $S = \pi R^2$ 和弧长公式 $l = \alpha R$,可推导出上述公式。

二、周长公式

基本公式

$$C = 2R + L$$

其中,$L$ 为弧长,$R$ 为半径。

角度制与弧度制的转换

角度制:$L = \frac{n \pi R}{180}$,则 $C = 2R + \frac{n \pi R}{180}$

弧度制:$L = \alpha R$,则 $C = 2R + \alpha R$ 。

示例计算:

若半径 $R = 5$ 厘米,圆心角 $\theta = 60^\circ$(约 $1.047$ 弧度),

周长 $C = 2 \times 5 + 4 = 14$ 厘米

面积 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$ 平方厘米。

三、补充说明

弧长公式:$l = \frac{n \pi R}{180}$(角度制)或 $l = \alpha R$(弧度制)

公式统一性

角度制公式可转化为弧度制形式,例如 $S = \frac{\theta}{360} \pi R^2 = \frac{1}{2} \theta R^2$($\theta$ 为弧度)

以上公式适用于已知半径和圆心角的情况,若已知弧长,面积公式更简洁。