扇形的面积公式和周长公式如下:
一、面积公式
基于弧长和半径 $$S = \frac{1}{2} l R$$
其中,$l$ 为扇形弧长,$R$ 为半径。
基于圆心角(角度制)
$$S = \frac{\theta}{360} \pi R^2$$
其中,$\theta$ 为圆心角(角度制),$R$ 为半径。
基于圆心角(弧度制)
$$S = \frac{1}{2} \alpha R^2$$
其中,$\alpha$ 为圆心角(弧度制),$R$ 为半径。
推导说明 由“等半径扇形面积比等于弧长比”推导得出,结合圆的面积公式 $S = \pi R^2$ 和弧长公式 $l = \alpha R$,可推导出上述公式。 二、周长公式基本公式
$$C = 2R + L$$
其中,$L$ 为弧长,$R$ 为半径。
角度制与弧度制的转换
角度制:$L = \frac{n \pi R}{180}$,则 $C = 2R + \frac{n \pi R}{180}$
弧度制:$L = \alpha R$,则 $C = 2R + \alpha R$ 。
示例计算: 若半径 $R = 5$ 厘米,圆心角 $\theta = 60^\circ$(约 $1.047$ 弧度), 周长 $C = 2 \times 5 + 4 = 14$ 厘米 面积 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$ 平方厘米。 三、补充说明 弧长公式
公式统一性
角度制公式可转化为弧度制形式,例如 $S = \frac{\theta}{360} \pi R^2 = \frac{1}{2} \theta R^2$($\theta$ 为弧度)
以上公式适用于已知半径和圆心角的情况,若已知弧长,面积公式更简洁。