数量积（也称为点积）是向量运算中的一种基本乘积方式，其运算公式如下：

一般公式

对于两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的数量积定义为 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$，其中 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模（长度），$\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

坐标运算

在平面直角坐标系中，若 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$。

在空间直角坐标系中，若 $\mathbf{a} = （x_1, y_1, z_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2, z_2）$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$。

特殊情况

当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向时，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$。

当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 反向时，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$ 或 $|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$。

向量垂直

$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$ 等价于 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$。

这些公式涵盖了数量积的基本概念和运算方法，适用于不同维度的向量空间。