双曲线的几何定义可以从以下两个方面进行说明：

一、基于距离差定义

双曲线是平面内满足以下条件的点的轨迹：

距离差条件 ：动点$P$到两个定点$F_1$、$F_2$的距离之差的绝对值等于常数$2a$，即

$$

||PF_1| - |PF_2|| = 2a \quad (0< 2a < |F_1F_2|)

$$

其中$F_1$和$F_2$为双曲线的焦点，$2a$为实轴长，$c$为焦距的一半（满足$c^2 = a^2 + b^2$）。

分支说明

当$|PF_1| - |PF_2| = 2a$时，点$P$位于靠近焦点$F_2$的双曲线右支；

当$|PF_1| - |PF_2| = -2a$时，点$P$位于靠近焦点$F_1$的双曲线左支；

若$2a = |F_1F_2|$，则轨迹为两条射线；若$2a > |F_1F_2|$，则无轨迹。

二、与圆锥曲线的关联

双曲线也可以通过圆锥曲线的定义来理解：

圆锥截面：

双曲线是平面与直角圆锥面相交（截面与母线不平行且不过锥顶）形成的曲线，另一类圆锥截面是椭圆或抛物线；

渐近线性质：双曲线的两个分支无限延伸时，逐渐逼近两条直线（渐近线），且两支之间的距离以指数速度增加。

三、补充说明

离心率：双曲线的离心率$e = c/a$，满足$e > 1$；

准线方程：焦点在$x$轴上的双曲线准线为$x = ±a/c$，焦点在$y$轴上时为准线$y = ±a/c$。

双曲线的几何定义与椭圆（距离之和为常数）形成对比，是其最本质的特征之一。