余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。具体推导过程如下：

平面三角形证法

在三角形ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D。

则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB。

在直角三角形ACD中，b²=AD²+DC²=（c*sinB）²+（a-c*cosB）²。

展开并化简得：b²=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B。

由于sin²B+cos²B=1，所以b²=c²+a²-2ac*cosB。

平面向量证法

设向量AB=c，向量AC=b，向量BC=a。

根据向量加法和数量积的性质，有c·c=（a+b）·（a+b）。

展开得c²=a²+2a·b+b²。

由于a·b=|a||b|cosθ，且cos（π-θ）=-cosθ，所以c²=a²+b²-2abcosθ。

即cosθ=（a²+b²-c²）/2ab。

射影定理法

在三角形ABC中，作高AD⊥BC于D。

根据射影定理，有BD=c*cosB，DC=a*cosC。

由于BC=a，AC=b，AB=c，代入得：

a²=b²+c²-2bc*cosA。

同理，b²=a²+c²-2ac*cosB。

c²=a²+b²-2ab*cosC。

综上所述，余弦定理的表达式为：

对于角A：a²=b²+c²-2bc*cosA

对于角B：b²=a²+c²-2ac*cosB

对于角C：c²=a²+b²-2ab*cosC。

这些推导方法都可以从不同的角度和层次帮助理解余弦定理的实质和应用。