对数运算公式及其推导如下：

乘法法则

log_a（MN） = log_aM + log_aN

推导：假设 x = log_aM 和 y = log_aN，则有 a^x = M 和 a^y = N。因此，a^x+y = a^x * a^y = M * N，根据对数定义得出 log_a（MN） = x + y。

除法法则

log_a（M/N） = log_aM - log_aN

推导：假设 x = log_aM 和 y = log_aN，则有 a^x = M 和 a^y = N。因此，a^x-y = a^x / a^y = M / N，根据对数定义得出 log_a（M/N） = x - y。

幂运算法则

log_a（bⁿ） = n * log_ab

推导：假设 x = log_ab，则有 a^x = b。因此，a^nx = （a^x）ⁿ = bⁿ，根据对数定义得出 log_a（bⁿ） = n * x。

换底公式

log_ab = log_cb / log_ca

推导：根据对数的定义，log_ab = x 和 log_cb = y，则有 a^x = b 和 c^y = b。因此，a^x = c^y，即 （a^x）^1/y = c，根据对数定义得出 x = log_cb / log_ca，即 log_ab = log_cb / log_ca。

对数恒等式

log_a（b） = log_c（b） / log_c（a），其中 a、b、c 均大于 0 且不等于 1

这是换底公式的另一种形式，直接由换底公式推导得出。

反对数公式

log_b（a） = log_a（b） / log_a（a），其中 a、b 均大于 0 且不等于 1

由对数定义和换底公式推导得出。

这些公式和推导过程展示了对数运算的基本性质和规则，是数学中非常重要的工具，广泛应用于科学计算、数据处理、物理学、工程学等领域。