在应用极限的运算法则时，需要注意以下几点：

四则运算法则

加法：如果 $\lim_{x \to a} f（x） = L_1$ 且 $\lim_{x \to a} g（x） = L_2$，则 $\lim_{x \to a} [f（x） + g（x）] = L_1 + L_2$。

减法：如果 $\lim_{x \to a} f（x） = L_1$ 且 $\lim_{x \to a} g（x） = L_2$，则 $\lim_{x \to a} [f（x） - g（x）] = L_1 - L_2$。

乘法：如果 $\lim_{x \to a} f（x） = L_1$ 且 $\lim_{x \to a} g（x） = L_2$，则 $\lim_{x \to a} [f（x） \cdot g（x）] = L_1 \cdot L_2$。

除法：如果 $\lim_{x \to a} f（x） = L_1$ 且 $\lim_{x \to a} g（x） = L_2 \neq 0$，则 $\lim_{x \to a} \frac{f（x）}{g（x）} = \frac{L_1}{L_2}$。

复合函数法则

设 $y = f[g（x）]$ 是由 $y = f（u）$ 与 $u = g（x）$ 复合而成，若 $x \to a$ 时，$f（u）$ 和 $g（x）$ 都有定义，且 $\lim_{x \to a} g（x） = u_0$ 存在，$\lim_{u \to u_0} f（u） = L$ 存在，则 $\lim_{x \to a} f[g（x）] = L$。

极限的存在准则

夹逼准则：如果数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 及 $\{c_n\}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$，且对于所有 $n$ 有 $a_n \leq c_n \leq b_n$，则 $\lim_{n \to \infty} c_n = L$。

单调有界准则：单调递增且有上界或单调递减且有下界的数列必有极限。

特殊情况的处理

无穷小与无穷大：在处理极限时，要注意无穷小与无穷大之间的运算关系，例如无穷小乘以有界函数仍为无穷小，无穷小与无穷小相加减时不能随意代换。

洛必达法则：仅适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且分子分母的函数必须有连续的导数。

注意事项

在使用极限的四则运算法则时，必须确保每个参与运算的函数的极限都存在。

在使用商的极限法则时，必须确保分母的极限不为零。

避免对极限存在但分母为零的情况进行直接运算，这时可能需要使用其他方法如洛必达法则。

通过遵循以上注意事项，可以更准确地应用极限的运算法则，解决复杂的极限问题。