历史上共发生过三次重大的数学危机，具体如下：

第一次数学危机：

无理数的发现

背景：古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为所有数都可以表示为整数或整数之比，即有理数。

危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线长度√2无法表示为有理数，这与他们的信仰相矛盾。

解决：数学家们最终接受了无理数的存在，并将其纳入数系，扩展了数的概念。

第二次数学危机：

微积分的基础

背景：17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了微积分，但其基础不牢固，尤其是无穷小量的概念模糊。

危机：无穷小量在计算中有时被视为零，有时又非零，引发了逻辑矛盾。

解决：19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯等人通过极限理论为微积分奠定了严格的基础，消除了无穷小量的模糊性。

第三次数学危机：

集合论的悖论

背景：19世纪末，康托尔创立集合论，试图为数学提供统一基础。

危机：1901年，罗素发现了“理发师悖论”，揭示了集合论中的自指矛盾，动摇了数学的基础。

解决：数学家们通过公理化集合论（如ZF系统）避免了已知悖论，但哥德尔不完备定理表明，任何足够复杂的公理系统都存在无法证明的命题。

这些危机不仅挑战了数学的基础，也推动了数学的深刻变革。