在《孟子·梁惠王下》中，孟子主要向梁惠王阐述了以下几个重要的治国理念和道理：

与民同乐

孟子通过多个例子和比喻，强调了君主应当与百姓共享欢乐。例如，当齐宣王表示自己喜欢音乐时，孟子通过对比独自欣赏音乐和与众人一起欣赏音乐的快乐，指出与众人共享快乐的重要性。他还提到，如果君主在百姓困苦时仍然沉溺于自己的享乐，百姓会感到不满和怨恨，反之，如果百姓安居乐业，他们则会感到高兴和拥戴。

仁政

孟子提出了“仁政”的核心理念，认为君主应当以仁爱之心治理国家，不与民争利，多关心百姓的疾苦，与民同忧。他强调，只有施行仁政，才能真正赢得百姓的衷心拥护，享受心安理得的快乐。

民贵君轻

孟子提出了“民贵君轻”的观点，认为百姓的地位比君主更为重要。他指出，如果君主不能关心百姓的福祉，甚至导致百姓流离失所，那么这样的君主就失去了其合法性。相反，如果君主能够与百姓同甘共苦，关心他们的生活，那么百姓自然会拥戴这样的君主。

推己及人

孟子强调君主应当推己及人，以身作则，成为百姓的榜样。他认为，君主的行为会直接影响百姓，因此君主应当以仁爱之心对待百姓，关心他们的生活，解决他们的疾苦。

综上所述，孟子通过这些道理和理念，劝谏梁惠王应当施行仁政，关心百姓的福祉，与百姓共享欢乐，从而赢得百姓的拥戴和国家的昌盛。这些思想不仅对当时的齐国有益，也对后世的政治理念产生了深远的影响。